18、三角形覆盖的全对偶整数性与多消息广播优化

三角形覆盖的全对偶整数性与多消息广播优化

在图论和网络通信领域，三角形覆盖的全对偶整数性以及多消息广播的时间优化是两个重要的研究方向。下面将详细介绍相关的概念、定理以及应用。

三角形覆盖的全对偶整数性

在图论中，我们定义了多个集合来研究图的性质。设 (B) 是使得三角形 - 边关联矩阵 (A_G) 为全幺模（TUM）的图 (G) 的集合；(M) 是使得系统 (A_Gx \geq 1, x \geq 0) 为全对偶整数（TDI）的图 (G) 的集合；(I) 是使得 ({x : A_Gx \geq 1, x \geq 0}) 为整数的图 (G) 的集合；(N) 是不属于 (B) 的极小图的集合。

对于图 (G) 中的三角形循环 (C = e_1\triangle_1e_2 \cdots e_k\triangle_ke_1)，我们有以下相关定义：
- (T_C)：三角形循环 (C) 中的三角形集合，即 (T_C = \cup_{i = 1}^{k}\triangle_i)。
- (B_C)：三角形循环 (C) 中的基本三角形集合，即 (B_C = {\triangle_1, \cdots, \triangle_k})。
- (J_C)：三角形循环 (C) 中的连接边集合，即 (J_C = {e_1, \cdots, e_k})。
- (N_C)：三角形循环 (C) 中的非连接边集合，即 (N_C = E(C) \setminus J_C)。
- (T_{C,i})：({\triangle \in T_C : |\triangle \cap J_C| = i})，其中 (i = 0, 1, 2, 3)。

定理证明与推