7、最大 k 非割问题的近似算法与难度分析

最大 k 非割问题的近似算法与难度分析

在网络研究中，我们常常会遇到各种图划分问题。本文聚焦于最大 k 非割问题（Max k - Uncut Problem），深入探讨其近似算法和难度结果。

1. 问题引入

最大 k 非割问题源于大规模网络的同质性法则研究。同质性法则指出，网络中的边倾向于连接具有相同或相似属性的节点，就像“物以类聚，人以群分”这句谚语所说。例如，在论文引用网络中，论文更倾向于引用具有相同或相似关键词的论文。

基于此，有人提出了最大快乐边（Maximum Happy Edges，MHE）问题。在 MHE 问题中，给定一个无向图 $G = (V, E)$ 和一个颜色集 $C = {1, 2, \cdots, k}$，只有部分顶点被赋予颜色，若一条边的两个端点颜色相同，则称该边为快乐边，目标是为所有未着色的顶点着色，使快乐边的数量最大化。

而最大 k 非割问题是 MHE 问题的一个自然变体，在输入图中所有顶点均未着色，要求用 k 种颜色对顶点进行着色，使得快乐边的总权重最大化。

定义 1：最大 k 非割问题
- 实例 ：给定一个无向图 $G = (V, E)$，边具有非负权重 ${w_e | e \in E}$，以及一个正整数 k。
- 目标 ：找到顶点集 $V$ 的一个划分 ${V_1, V_2, \cdots, V_k}$（即对顶点进行 k 着色），使得快乐边的总权重最大。

需要注意的是，这里的 k 着色要求恰好使用 k 种颜色，否则可以将所有顶点着为一种颜色，所有边都将成