8、图算法中的近似与强树宽度研究

图算法中的近似与强树宽度研究

在图算法领域，有两个重要的问题值得深入探讨，分别是最大 k - 非割问题（Max k - Uncut）和最密 k - 子图问题（Densest k - Subgraph），同时还有一个新提出的概念——强树宽度（Strong Tree - Breadth）。下面将对这些内容进行详细介绍。

最大 k - 非割与最密 k - 子图问题

最密 k - 子图问题的近似算法

最密 k - 子图问题旨在从图中找出一个包含 k 个顶点的子集，使得该子图的密度最大。为了解决这个问题，提出了算法 C，其具体步骤如下：

算法 2.4（最密 k - 子图的算法 C）
输入：最密 k - 子图的一个实例 (G, w, k)
输出：一个恰好包含 k 个顶点的顶点子集 V ′ ⊆ V (G)
1. ¯k ← n − k + 1
2. 通过对实例 (G, w, ¯k) 的最大 ¯k - 非割问题的近似算法，找到 V (G) 的一个 ¯k - 划分 P = {V1, V2, · · ·, V¯k}
3. 根据引理 1 将 P 转换为一个 ¯k - 划分 P′ = {V ′1, V ′2, · · ·, V ′¯k}，其中 |V ′¯k| = n − (¯k − 1) = k
4. 返回 V ′ ← V ′¯k

该算法的核心在于利用最大 ¯k - 非割问题的近似解来构造最密 k - 子图的近似解。同时，还证明了如果最大 k - 非割问题可以在 α 因子内近似，那么最密 k - 子图问题可以在 α / 2 因子内近似。这表明最大 k - 非割问题和最密 k -