13、嵌套分类单元系统发育树的快速兼容性测试

嵌套分类单元系统发育树的快速兼容性测试

在系统发育树的研究中，对于半标记树的祖先兼容性测试是一个重要的问题。本文将介绍相关的基本概念、展示图的性质以及用于测试祖先兼容性的算法。

1. 预备知识

• 基本符号 ：对于正整数 $r$，$[r]$ 表示集合 ${1, \ldots, r}$。对于图 $G$，$V(G)$ 和 $E(G)$ 分别表示其节点集和边集。节点 $v$ 的度是与 $v$ 关联的边的数量。树是无环的连通图，本文中所有树都假定为有根树，$r(T)$ 表示树 $T$ 的根。
• 半标记树 ：半标记树是一个对 $T = (T, \varphi)$，其中 $T$ 是树，$\varphi$ 是从集合 $L(T)$ 到 $V(T)$ 的映射，使得对于度至多为 2 的每个节点 $v \in V(T)$，有 $v \in \varphi(L(T))$。$L(T)$ 是 $T$ 的标签集，$\varphi$ 是 $T$ 的标记函数。
  • 若 $\varphi^{-1}(v) \neq \emptyset$，则节点 $v$ 被标记；否则，$v$ 未被标记。根据定义，半标记树中的每个叶子都被标记，任何只有一个子节点的节点（包括根）也必须被标记，有两个或更多子节点的节点可以被标记或未被标记。
  • 若半标记树 $T = (T, \varphi)$ 中每个节点最多有一个标签，则称其为单标记的；若每个节点都被标记，则称其为全标记的。
• 祖先关系 ：设 $T = (T, \v