BZOJ2330 [SCOI2011]糖果（差分约束模板）

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• BZOJ2330 洛谷P3275

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Solution

• 先来考虑一个简单的问题，给出这三个关系式，求 $A - C$ 的最小值。
  $$\left \{\begin{array}{rcl} (1) &\ A - C \ge 4\\ (2) &\ A - B \ge 3\\ (3) &\ B - C \ge 2\\ \end{array}\right.$$
• 显然我们可以得到：
  $$\left \{\begin{array}{rcl} (1) &\ A - C \ge 4\\ (2) + (3) &\ A - C \ge 5\\ \end{array}\right.$$
• 因此 $A - C$ 的最小值为 $\max(4, 5) = 5$。
• 进一步的，我们可以把形如 $A - B >= x$ 的式子转化为图论的模型，即点 $B$ 向点 $A$ 连一条权值为 $x$ 的边，那么对于上面的关系式，建图如下：
  
  • $C \to A$，权值为4。
  • $B \to A$，权值为3。
  • $C \to B$，权值为2。
  • 我们会发现这时 $A - C$ 的最小值就是点 $C$ 到点 $A$ 的最长路。
  • 像这样用图来求解不等式关系的方法叫做差分约束，丢个网址。
  • 因为这题也是要求最小值，我们同样考虑转成大于等于的不等式并求最长路（边权取负跑最短路）。
  • 那么对于题目中五种操作：

  • $$\left \{\begin{array}{rcl} (1) &\ A = B\\ (2) &\ A < B\\ (3) &\ A \ge B\\ (4) &\ A > B\\ (5) &\ A \le B\\ \end{array}\right.$$
    • 就可以转变为：
    $$\left \{\begin{array}{rcl} (1) &\ A - B \ge 0, B - A \ge 0 \\ (2) &\ B - A \ge 1\\ (3) &\ A - B \ge 0\\ (4) &\ A - B \ge 1\\ (5) &\ B - A \ge 0\\ \end{array}\right.$$
    • 对应连边即可。
    • 因为每个小朋友手上都要有糖果，增加一个起点向其它所有点连一条权值为1的边。
    • 无解的情况有两种：
      
      1. 图中存在负环（用 $DFS$ 版 $SPFA$ 判断）。
      2. 出现了形如 $A > A$ 或 $A < A$的不等式。
    • 然而用（sang）心（xin）良（bing）苦（kuang）的出题人设了点卡普通 $SPFA$，仿佛还要加 $SLF$ 优化（设要加入的节点是 $j$，队首元素为 $i$，若 $dist(j) \le dist(i)$，则将 $j$ 插入队首，否则插入队尾，可以用 $STL$ 或者手写循环队列模拟）。

    Code

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cctype>
    #include <cstring> 
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    namespace inout
    {
        const int S = 1 << 20;
        char frd[S], *ihed = frd + S;
        const char *ital = ihed;
    
        inline char inChar()
        {
            if (ihed == ital)
                fread(frd, 1, S, stdin), ihed = frd;
            return *ihed++;
        }
    
        inline int get()
        {
            char ch; int res = 0; bool flag = false;
            while (!isdigit(ch = inChar()) && ch != '-');
            (ch == '-' ? flag = true : res = ch ^ 48);
            while (isdigit(ch = inChar()))
                res = res * 10 + ch - 48;
            return flag ? -res : res;
         } 
    };
    using namespace inout;
    
    typedef long long ll;
    const int N = 1e5 + 5, M = N << 3;
    const int Maxn = 0x3f3f3f3f;
    bool vis[N]; int dis[N], h[M], n, k, m; ll Ans;
    
    struct Edge 
    {
        int to, cst; Edge *nxt;
    }p[M], *T = p, *lst[N];
    
    inline void Link(int x, int y, int z)
    {
        (++T)->nxt = lst[x]; lst[x] = T; T->to = y; T->cst = z;
    }
    
    inline bool dfs_Spfa(int x)
    {
        vis[x] = true; int y;
        for (Edge *e = lst[x]; e; e = e->nxt)
            if (dis[y = e->to] > dis[x] + e->cst)
            {
                dis[y] = dis[x] + e->cst;
                if (vis[y] || dfs_Spfa(y)) return true;
            }
        return vis[x] = false;
    }
    
    inline void bfs_Spfa()
    {
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        memset(dis, Maxn, sizeof(dis));
        dis[h[1] = 0] = 0; int t = 0, w = 1, x, y;
        while (t != w)
        {
            if (++t == M) t = 0;
            vis[x = h[t]] = false;
            for (Edge *e = lst[x]; e; e = e->nxt)
                if (dis[y = e->to] > dis[x] + e->cst)
                {
                    dis[y] = dis[x] + e->cst;
                    if (!vis[y]) 
                    {
                        if (dis[y] > dis[h[t + 1]])
                        {
                            if (++w == M) w = 0;
                            vis[h[w] = y] = true;
                        }
                        else 
                        {
                            vis[h[t] = y] = true;
                            if (!t--) t = M - 1; 
                        }
    
                    }
                }
        }
    }
    
    int main()
    {
    //  freopen("candy.in", "r", stdin);
    //  freopen("candy.out", "w", stdout);
    
        n = get(); m = get(); int k, x, y;
        while (m--)
        {
            k = get(); x = get(); y = get();
            switch (k)
            {
                case 1: Link(x, y, 0); Link(y, x, 0); break;
                case 2: if (x == y) return puts("-1"), 0; Link(x, y, -1); break;
                case 3: Link(y, x, 0); break;
                case 4: if (x == y) return puts("-1"), 0; Link(y, x, -1); break;
                case 5: Link(x, y, 0); break; 
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) Link(0, i, -1);
    
        bool flag = false;
        for (int i = 1; i <= n && !(flag = dfs_Spfa(i)); ++i);
        if (flag) return puts("-1"), 0;
    
        bfs_Spfa();
        for (int i = 1; i <= n; ++i) Ans += (ll)dis[i];
        cout << -Ans << endl;
    
    //  fclose(stdin); fclose(stdout);
        return 0; 
    }