傅立叶分析导论-5 傅里叶变换

本文精选了多个关于傅里叶分析的习题及其解答过程,涵盖傅里叶级数、广义积分、函数连续性和可微性的讨论,以及函数在不同条件下的性质分析。

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1

1.6 The Plancherel formula
第一次看Proposition1.11的证明很奇怪为什么分情况|x||2y|,因为这样可以保证|xy|y
如果fS(R),为什么f,可以考虑x2f(x)/x2,分别考虑x[0,1][1,)

5 Exercise

1
(a)把傅里叶级数中周期2π改为L即可
(b)
根据广义积分的定义对于任意ε,存在某个分割P,使得在这个分割下|FδF|ε,只要N足够大,就可以保证nN是P的细分,可以保证|F1NF(nN)|ε,由于ε可以任意小,证明完成。
(c)
根据题中f^moderate decrease,再加上第2章 Corollary 2.3,再加上(a)和(b)的结果,可以得出结论

2
because f and g is defined on and bounded interval[-1,1], the integral is well defined. the conclusion can be obtained by integral。

3
(a)
|f(x+h)f(x)|=f^(ξ)e2πixξ(e2πihξ1)dξ,分2部分积分,对于|ξ|1/|h|,根据f^的有界性证明其足够小,对于|ξ|1/|h|A(1/ξ)αAhα
两部分加起来,证明完成
(b)

4
(a)
只需要证明a、b点无限次可微即可,只考虑a,b类似
a点的右导数为f(a+δ)f(a)δ=e1bae1/δδ=0(1δ=c并用罗比塔法则)
(b)
根据提示即可
(c)
根据(b),对于[a,a+δ],用b代替a+δ,对于[bδ,b],取负值并加固定常数

5
(a)
continuity
|f^(ξ+δ)f^(ξ)|=f(x)e2πixy(e2πixδ1)dx=O(δ)
f^(ξ)0
based on hint and Proposition 1.1(iv)
(b)
提示中等式的证明与Proposition1.8完全一样,所以对于任意g,fg^=0,所以f=0

6
ieπx2

7
对于|y||x|/2g(y)有界,因为积分区间有界,f(xy)=O(1/(1+x2))
对于|y||x|/2f(xy)有界,由于y足够大,所以g(y)=O(1/(1+x2))

8
fex2=f(y)ey2e2xyex2dy=0(根据题中前提),对于任意x,那么他们的傅里叶变化为0,由于ex2的傅里叶变换不恒等于0,所以f^=0,所以f=0

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