傅立叶分析导论-3 Convergence of Fourier Series

最新推荐文章于 2025-02-03 20:25:52 发布

buck

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分类专栏：傅立叶分析导论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/buck84/article/details/52051363

这篇博客探讨了傅立叶级数的点wise收敛性，通过具体例子展示了一个函数在0点连续但傅里叶级数发散的情况。还讨论了傅里叶系数的性质、Parseval公式应用以及一些相关定理的证明，如数学分析中的某些收敛性定理。此外，博主提到了一些证明技巧，如利用Cauchy-Schwarz不等式和Lipschitz条件。

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2 Return to pointwise convergence
1.1
Example2里面提到的while these facts can be obtained as consequences of the corresonding inequalities in the previous examples
指的是直接证明 $\sqrt{\int (f+g)^2}\le \sqrt{\int f^2}+\sqrt{\int g^2}$

1.2
最后Lemma1.5的证明
$\|F+G\|^2-\|F-G\|^2=2(F\bar G+G\bar F)$
$i(\|F+iG\|^2-\|F-iG\|^2)=2(F\bar G-G\bar F)$
联立即可得出结论

2.2
这一节构造的在0点傅里叶级数发散的连续函数，最后不是很容易理解。
86页 $f_N$ 和 $\tilde f_N$ 定义位于84页
$S_M$ 计算的是 $P_N$ 的部分和
87页的 $f(\theta)$ 是连续函数，因为 $P_N$ 有界，因为 $P_N$ 是函数 $i(\pi-\theta)$ 的部分和，根据Theorem1.3的Remark1可以得到。