【离散数学】复习:近世代数、格与布尔代数

说明:仅用作应试杂碎知识点备忘,不是知识点总结;大部分源自吉大离散真题
先放个梳理:

群

• 1，2，3元群都只有一个 且都是交换群
• 单位元e的周期为1.群中周期(阶)为1的元素有且仅有一个(就是单位元)
• 任何群只有一个幂等元就是e.
• 群G的平凡子群有两个,{e}和G本身.
• 循环群生成元的周期(阶)等于群的阶.(G=(a)$\to$|G|=|a|)
• 循环群不可能有无穷多个生成元（有限循环群不用说，连元素数都不可能是无限的；无限循环群同构于整数加群（Z,＋），只有俩生成元a,a^-1.
• 存在一个元素的周期(阶)等于群G的阶,那么这个群G必为循环群.
• 有限群G的子群H的阶整除G的阶.(Lagrange定理)(推论:有限群G中任一元素的阶整除群G的阶.因为每个元素a都能作为生成元生成一个G的子群H,而(a)的阶又等于a,故得证)
• 有限群中元素的阶都有限(由上一条也能显然得知)
• 偶数阶的群,必存在周期为2的元素.(解释:若不存在,则除了单位元之外没有其他元素和自己的逆元相等,就是说除了单位元之外剩下的元素都成对出现,这样一来群G的阶为奇数,与题设不符,所以必须有至少一个元素周期为2.)
• 有限群里,阶数大于2的元素个数必为偶数(还是成对出现的原因)
• 若群中元素|a|=m,|b|=n, 则当ab=ba,且 (m,n)=1时， |ab|=mn.(交换律是大前提)
• 定义:n次对称群:n个元素的所有置换组成的群
• 定义:n次交代群:n次对称群中的偶置换做成的群(表达为A${}_n$);A${}_n$ 的元素数为 (n!)/2.
• 素数阶群必为循环群 [解释::素数阶群G中至少2个元素(素数大于1),设|G|=p,a∈G,a!=e,则由于群中有且仅有一个元素阶为1,得知|a|>=2,又由Lagrange定理,|a|整除p,所以a的阶必为p,所以G为a的生成群,也就是循环群了],循环群必为交换群.(易得)
• 阶为素数p的n次方的群必有阶为p的子群.(证明过于繁琐) e.g.阶为125的群必有阶为5的子群.
• 若G=(a)是循环群,且G是无限阶群,则a^k互不相同.(解释:否则存在aⁱ=a^j那么a^i-j=e,|a|<=i-j,群G中最多有i-j个互不相同元素,与G阶无限相矛盾.)
• 设G为交换群,且G中所有元素最大阶为m,则其他元素的阶必整除m.(解释:设|a|=m,|b|=n,n<m.假设n不整除m,则存在质数p,使得:
  m=m${}_1$*p^k,n=n${}_1$*p^t(不整除条件的转化).
  则|a^p的k次方|=m${}_1$,|bⁿ¹|=p^t(用上一行两个式子得出,很简单),下找比m大的阶:显然|a^p的k次方bⁿ¹|=m${}_1$p^t>m${}_1$p^k=m,出现了元素的阶大于m,与题设矛盾,所以证明了此结论.)
• 无限循环群彼此同构(同构于整数加群),有限同阶的循环群彼此同构(同构于模n剩余类群),不同阶的循环群不同构

环

• 求模n剩余类环中的可逆元素,只需找与n互素的数即可.而且模n剩余类环中其他元素均为零因子(易证)
• 元素数>1的无零因子有限环一定是体（用去0乘法群证法，其中群用有限消去证！）

格与布尔代数

• 六边形不是模格.
• 布尔代数是有余分配格.