使用线性代数求解斐波那契数列第n项

最新推荐文章于 2025-10-26 16:01:49 发布
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本文介绍了如何利用线性代数的方法解决斐波那契数列问题，将递推关系转化为线性方程组，通过矩阵相似对角化找到第n项的值，特别讨论了求解f(100)的过程。
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一：问题

已知斐波那契数列，f1=1,f2=1,f3=3,f4=5...求第n项的数值

二：问题转化为线性代数问题

可以得到方程

f（n+2）=f（n+1）+f（n）

为了解决问题，添加方程

f（n+1）=f（n+1）

记向量u_{n}=\begin{pmatrix} f_{n+1}\\ f_{n} \end{pmatrix}，则上两式可以写作

u_{n+1}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}u_{n}

要求f_{n}，只需知道u_{n}，例如，要求n=100时的数值

u_{100}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}^{99}u_{1}

三：将矩阵相似对角化

可以得到矩阵的两个特征值为\lambda _{1}=(1+\sqrt{5})/2，\lambda _{2}=(1-\sqrt{5})/2，对应的变化矩阵为A，则

u_{100}=A^{-1}\begin{bmatrix} (1+\sqrt{5})/2& 0\\ 0 & (1-\sqrt{5})/2 \end{bmatrix}Au_{1}

u_{1}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}，代入可得

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