30、社会选择：偏好聚合与投票方法解析

社会选择：偏好聚合与投票方法解析

1. 社会选择基础概念

在社会选择领域，当面对多个候选人时，Condorcet 赢家并不总是存在。随着候选人数量趋近于无穷大，在合理条件下，Condorcet 赢家存在的概率趋近于零。这意味着 Condorcet 条件并非总能为我们提供选择结果的明确指引。

为了解决这个问题，人们提出了一些规则来确定一个可供选择的结果集。其中一个突出的例子是 Smith 集。

1.1 Smith 集定义

Smith 集是集合 $O$ 的最小子集 $S$，满足对于任意不在 $S$ 中的结果 $o’$，都有 $#(o \succ o’) \geq #(o’ \succ o)$。也就是说，Smith 集中的每个结果都至少被一半的参与者偏好于集合外的每个结果。当存在 Condorcet 赢家时，该赢家就是 Smith 集的唯一成员；否则，Smith 集是参与“僵局”（或“顶级循环”）的候选人集合。

1.2 社会福利函数

另一种重要的社会函数是社会福利函数。它与社会选择函数类似，但会产生更丰富的结果，即对备选方案集的全序排列。

社会福利函数（在集合 $N$ 和 $O$ 上）是一个函数 $W: L^n \to L$。尽管这些函数的实用性不太直观，但它们对社会选择理论非常重要。我们将在后面探讨 Arrow 的著名不可能定理时进一步讨论它们。

2. 投票方法

2.1 非排序投票

最标准的投票方法类别是非排序投票，其中每个参与者为一名候选人投票。常见的非排序投票方法有：
- 多数投票