52、公钥加密方案与格密码学的安全性分析

公钥加密方案与格密码学的安全性分析

1. 公钥加密方案概述

公钥加密是现代密码学中最基础的操作之一。一个公钥加密方案由三个概率多项式时间算法 ((G, E, D)) 组成：
- 密钥生成算法 (G) ：输入安全参数 (n)，在 (n) 的多项式时间内输出一对密钥 ((pk, sk))，分别称为公钥和私钥。
- 加密算法 (E) ：输入公钥 (pk) 和消息字符串 (m)（明文），输出字符串 (E(pk, m))，即密文。
- 解密算法 (D) ：输入私钥 (sk) 和密文 (c = E(pk, m))，恢复原始消息 (D(sk, E(pk, m)) = m)。

公钥加密方案的典型应用是在公共网络上传输机密信息。接收方使用密钥生成算法生成密钥对 ((pk, sk))，并公开公钥 (pk)。发送方使用公钥 (pk) 将消息 (m) 编码为密文 (E(pk, m)) 进行传输，接收方使用私钥 (sk) 和解密算法恢复消息。其安全性表现为：当公钥 (pk) 随机生成时，对于任意两条消息 (m_0) 和 (m_1)，没有高效的敌手能在给定 (pk) 和随机选择消息的加密结果 (E(pk, m_b)) 时，以显著大于 (1/2) 的概率猜出比特 (b)，这就是抗选择明文攻击安全性（CPA - 安全性）。

目前，尚不存在基于任意单向或抗碰撞哈希函数族的公钥加密方案，且此类构造必然是非黑盒的。不过，公钥加密方案可以基于许多特定的（平均情况）计算困难假设构建，如分解随机数的困难性或在有限域中计算离散对数的困难性等。

2. 基于格问题的