40、格密码学中的难题与方案解析

格密码学中的难题与方案解析

1. 最近向量问题（CVP）分析

可以使用与之前类似的启发式论证来分析最近向量问题（CVP）。给定一个不在格 $L$ 中的向量 $w$，当以 $w$ 为中心、半径为 $r$ 的球体体积等于格 $L$ 的行列式 $\det(L)$ 时，我们预计该球体会包含格 $L$ 中的一个点。并且，当实际距离与格 $L$ 中最近向量的“期望距离”之比减小时，CVP 问题会变得更容易解决。

2. 背包密码系统

整数分解和离散对数问题被认为是困难的，因为目前还没有人找到能在多项式时间内解决它们的算法。整数分解问题的决策形式可以表述为：是否存在小于 $p$ 的 $N$ 的因子？这个问题属于 NP 和另一个复杂度类 co - NP。由于普遍认为 NP 不等于 co - NP，所以人们也认为整数分解不是 NP 完全问题。自然地，一个基于已知为 NP 难问题的密码系统会让人对其安全性更有信心。

2.1 子集和问题

Merkle 和 Hellman 在 20 世纪 70 年代末首次尝试基于一个特定的 NP 完全问题——子集和问题来构建密码系统。子集和问题表述如下：给定一个正整数列表 ${M_1, M_2, \cdots, M_n}$，选择其中一个未知子集并求和得到整数 $S$。给定 $S$，恢复求和得到 $S$ 的子集，或者找到具有相同性质的另一个子集。也可以用另一种方式描述：已知正整数列表 $M = {M_1, M_2, \cdots, M_n}$，选择一个秘密二进制向量 $x = {x_1, x_2, \cdots, x_n}$，其中每个 $x_i$ 取值为 0 或 1。如果 $S = \sum_{i = 1}^{n} x_iM_