15、复杂框架下格约简算法的概率分析

复杂框架下格约简算法的概率分析

在算法分析中，理解算法的执行成本至关重要。本文将聚焦于研究特定算法在复杂框架下的执行成本，并通过转移算子进行动态分析，同时对比不同算法的概率行为。

1. 复杂框架下的执行参数

在复杂框架中，我们主要关注以下几种成本：
- 加法成本 (C(c)) ：它与适度增长的成本 (c) 相关，定义在 (3.9) 中。有两个特殊情况值得关注：
- 当 (c = 1) 时，(C(c)) 即为迭代次数 (P)。
- 当 (c) 为二进制长度 (\ell) 时，(C(c)) 为连分数的长度 (Q)，其计算公式为 (Q(u, v) = \sum_{i = 1}^{P(u, v)} \ell(|q_i|))。
- 位复杂度 (B) ：在 “主要关注参数” 部分有定义，其分解公式为 (B(u, v) = Q(u, v) \ell(|u|^2) + D(u, v) + \Phi(Q(u, v)))，其中 (D(u, v) = 2 \sum_{i = 1}^{P(u, v)} \ell(|q_i|) \lg \left|\frac{v_{i - 1}}{v}\right|)。

由于这些成本具有相似不变性，即对于 (X \in {Q, D, P}) 和 (\lambda \in \mathbb{C}^*)，有 (X(\lambda u, \lambda v) = X(u, v))。我们可以令 (X(z) := X(1, z))，从而在复杂框架下研究这些主要成本。

对于加法成本 (C(c))，它与定义在商 (q) 上的基本成本 (c) 相关。通过