11、格约化算法的概率分析与高斯算法的复版本研究

格约化算法的概率分析与高斯算法的复版本研究

1. 引言

在格约化算法的研究中，我们关注一些关键问题，例如随机基在 Siegel 意义下已被 s - 约化的概率、LLL 算法在随机基上的平均迭代次数以及随机基生成的格的第一最小值的均值等。为了深入探讨这些问题，我们将在球面模型下进行概率分析，并研究高斯算法的复版本。

2. 球面模型下的基本设定

2.1 基本参数定义

设环境空间的维度为 (n)，格的维度为 (p)，(\mathbb{R}^n) 中维度为 (p) 的基记为 (B_{p,(n)})，余维数 (g=n - p)。我们引入以下参数：
- 对于 (B_{p,(n)}) 对应的 Gram - Schmidt 正交化系统 (B_{p,(n)}^*)，定义 Siegel 比率序列 (r_{j,(n)}=\frac{\ell_{n - j + 1,(n)}}{\ell_{n - j,(n)}})，其中 (g + 1\leq j\leq n - 1)。
- 定义 (M_{g,(n)}=\min{r_{j,(n)}^2;g + 1\leq j\leq n - 1}) 为约化水平，(I_{g,(n)}=\min{j:r_{j,(n)}^2 = M_{g,(n)}}) 为最差局部约化的索引。

2.2 集中性质

当系统 (B_{p,(n)}) 按所谓的（集中）球面模型分布时，径向分布 (\Phi^{(n)}) 满足集中性质 C：存在序列 ((a_n)_n) 和常数 (d_1,d_2,\alpha>0,\delta_0\in(0,1))，使得对于每个 (n) 和 (\delta\in(0,\delta