30、平面上范围极大点计数与报告算法解析

平面上范围极大点计数与报告算法解析

1. 解决方案框架基础

在解决平面上范围极大点相关问题时，我们会用到一些基础的数据结构，包括标准范围树、红黑树以及持久化红黑树。
- 红黑树 ：一种平衡二叉搜索树，能将 $n$ 个元素按排序顺序存储。它支持插入（INSERT(u)）和查找前驱（PREDECESSOR(u)）操作，时间复杂度为 $O(log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。
- 持久化红黑树 ：维护一个有序元素集合。初始时数据结构 $S$ 为空，每次插入新元素时会创建一个新的数据结构版本，从而得到 $S$ 的一系列版本。插入 $n$ 个元素后，数据结构占用 $O(n)$ 空间，对任意先前版本的查询时间为 $O(log n)$。

对于平面上的点集 $P$，我们的核心思路是预先处理并存储每个点的下一个极大点信息。若点 $p_i$ 是极大点，用 $nxt[p_i]$ 表示按 $y$ 坐标降序排列时紧随 $p_i$ 的下一个极大点。若不存在这样的点，则 $nxt[p_i] = (+∞, 0)$。

2. 三边范围极大点查询

2.1 报告算法

预处理步骤

1. 初始化红黑树 $T$ 和持久化有序集合 $S$。
2. 将点集 $P$ 按 $x$ 坐标降序排序，并按此顺序处理点。
3. 把点插入 $T$ 和 $S$，以 $y$ 坐标为键。
4. 对于每个点 $p_i$，若存在，设置 $nxt[p_i] = PREDECESSOR(y(p_i))$，否则 $nxt[p