22、结构字符串边界数组与部分单词模式避免指数的研究

结构字符串边界数组与部分单词模式避免指数的研究

结构字符串的边界数组构建

在字符串处理中，边界数组的构建是一项重要的任务。对于结构字符串（s - 字符串），我们可以通过不断改进的算法来高效地构建其边界数组。

传统边界构建中，寻找下一个最长边界的方式是一个关键性质。对于字符串 $T$ 的最长边界 $b_1$，若 $b_2$ 是 $b_1$ 的最长边界，那么 $b_2$ 就是 $T$ 的下一个最长边界。利用这个性质，我们可以通过回溯之前的边界元素来找到 $T[1…i]$ 的下一个最长边界。具体来说，若当前最长边界无法继续扩展，我们可以尝试下一个最长边界，其最后一个符号可能会匹配。如果第二长边界的最后一个符号不匹配，我们可以继续尝试第三长边界，以此类推。这种回溯可以递归到第 $v$ 层，即 $B_1[i] = B[i], B_2[i] = B[B[i]], \cdots, B_v[i] = B[B_{v - 1}[i]]$。

对于 s - 字符串和 s - 边界，这个性质同样成立。以下是相关引理：
- 引理 11 ：给定长度为 $n$ 的 s - 字符串 $T$，第 $v$ 长的 s - 边界的长度 $q_v$ 可以通过 $q_v = B_s^v[i]$ 计算得到，当 $B_s[i] > 0$ 时；否则 $q_v = 0$。

基于之前证明的引理 10 和引理 11 的性质，我们可以提出一种改进的算法（算法 4）来计算 s - 边界。该算法与传统边界构建类似，但核心区别在于对单个 s - 后缀符号的观察和比较方式。

以下是改进的 $B_s$ 构建算法：