6、图中的路径识别：理论与复杂性分析

图中的路径识别：理论与复杂性分析

1. 连通图的识别路径覆盖上限

在图论中，对于连通图的识别路径覆盖问题，我们可以得到一些重要的上限结论。通过选择连通图 $G$ 的一棵生成树 $T$，并利用相关定理在 $T$ 上构建识别路径覆盖 $P$，可以得到以下定理：
- 定理 14 ：对于任意具有 $n$ 个顶点的连通图 $G$，$pID(G) \leq \left\lceil\frac{2(n - 1)}{3}\right\rceil$。这表明，与许多其他识别问题（如识别码问题）不同，在识别连通图时，所需的传感器数量远小于顶点数 $n$，这在实际应用中具有重要意义。
- 定理 15 ：设 $\gamma_C(G)$ 表示图 $G$ 的连通支配数（即诱导出连通子图的最小支配集的大小），$L(G)$ 表示 $G$ 的生成树中的最大叶子数。对于任意具有 $n$ 个顶点的连通图 $G$，有 $pID(G) \leq \left\lceil\frac{2(n - \gamma_C(G))}{3}\right\rceil + \left\lceil\frac{\gamma_C(G)}{2}\right\rceil$。

以下是这两个定理的简要对比表格：
| 定理 | 表达式 | 意义 |
| ---- | ---- | ---- |
| 定理 14 | $pID(G) \leq \left\lceil\frac{2(n - 1)}{3}\right\rceil$ | 给出一般连通图识别路径覆盖的上限 |
| 定理 15 | $pID(G) \leq \left\lceil\frac{2(