20、动态流网络中最大流与最小割的复杂度分析

动态流网络中最大流与最小割的复杂度分析

在动态流网络的研究中，流与割的复杂度是一个关键问题。本文将探讨动态流问题的复杂度，包括具有时间依赖容量和传输时间的情况，并展示如何构建具有不同复杂度特征的动态流网络。

1. 动态流问题的复杂度证明

• 时间依赖容量的动态流问题 ：具有时间依赖容量且考虑无限时间的动态流问题是弱NP - 难的，即使对于只有两次容量变化的无环图也是如此。这一结论通过对特定边的流量限制和容量变化的分析得到证明。
• 时间依赖传输时间的动态流问题 ：具有无限考虑时间和时间依赖传输时间的动态流问题同样是弱NP - 难的，对于只有一次传输时间变化的无环图也成立。将此结果推广到有限时间范围时，通过选择足够大的时间范围可得到相应推论。
• 单一容量变化的情况 ：对于无限考虑时间和单一容量变化的情况，存在一个最小动态割，其中每个顶点最多改变一次分区，且所有分区变化方向相同。基于此，有人猜想具有单一容量变化和无限考虑时间的动态流网络中的最小割问题可以在多项式时间内解决。

2. 指数复杂度的流与割

2.1 构建思路

在构建动态流网络时，我们先关注割的复杂度，再将其扩展到流的复杂度。其核心在于利用顶点分区变化的强制机制，通过特定的结构使顶点模仿其他顶点的分区变化。

2.2 模仿小工具（Mimicking Gadget）

• 结构 ：模仿小工具用于连接两个非终端顶点 (a