25、RSA密钥恢复：基于数字等价信息的攻击与应对

RSA密钥恢复：基于数字等价信息的攻击与应对

1. 背景知识

1.1 RSA算法

RSA是一种公钥系统，可用于加密和数字签名。生成RSA密钥时，用户会选取两个随机素数p和q。公钥为(N, e)，其中N = pq，e与ϕ(N) = (p - 1)(q - 1)互质。私钥为(p, q, d)，其中d = e⁻¹ mod ϕ(N)。大多数现代实现使用e = 65537 = 2¹⁶ + 1，并选择合适的p和q以满足要求。

加密消息m时，计算c = mᵉ mod N；解密时，计算m = cᵈ mod N。签名消息m时，计算s = mᵈ mod N，验证签名则通过检查m = sᵉ mod N。

此外，还可以使用中国剩余定理（CRT）来简化私钥操作。具体来说，预先计算CRT - RSA私钥(p, q, d, dp, dq, qinv)，其中dp = d mod (p - 1)，dq = d mod (q - 1)，qinv = q⁻¹ mod p。计算cᵈ mod N时，按以下步骤进行：
1. mp = mᵈᵖ mod p
2. mq = mᵈq mod q
3. h = qinv(mp - mq) mod p
4. m = mq + hq

1.2 固定窗口幂运算

固定窗口幂运算算法用于计算Bᴱ mod M。该算法由窗口大小ω参数化，将指数E表示为基数为2ᵝ的数。使用E[[i]]表示E的第i位数字，即E = ∑E[[i]]2ᵝⁱ ，其中0 ≤ E[[i]] < 2ᵝ。

算法步骤如下：

Alg