20、概率与随机变量入门

概率与随机变量入门

1. 背景

概率是数学的一个分支，主要处理机会、随机性或不确定性。在日常生活中，概率的例子无处不在。比如抛硬币时，我们会讨论得到正面或反面的概率；电话接线员会考虑在给定时间间隔内接到特定数量电话的概率；我们也会谈论在给定地点明天13:00下雨的概率。此外，博彩游戏也是涉及概率的典型例子，早在公元前2000年左右，古埃及人就开始使用立方体骰子。到了15世纪中叶，布莱尔·帕斯卡和皮埃尔·德·费马使概率计算得到了普及，1933年，A. N. 科尔莫戈罗夫用集合和测度理论将概率论公理化。

然而，对于概率的解释，科学家和哲学家们并没有达成一致，主要有以下几种学派：
- 频率学派 ：由冯·米塞斯（1928）和赖兴巴赫（1937）领导，该学派认为事件的概率p是该事件在无限次相似（且独立）试验中发生的相对频率k/n，即(p = \lim_{n \to \infty} \frac{k}{n})，其中k是事件在n次试验中发生的次数。
- 主观或“贝叶斯”学派 ：该学派认为事件的概率是对该事件可能性的主观或个人判断。这种解释可以追溯到18世纪的托马斯·贝叶斯和19世纪初的皮埃尔·西蒙·拉普拉斯。他们认为随机性不是一个客观可测量的现象，而是一种“知识”现象，即把概率视为一个认识论而非本体论的概念。
- 古典学派 ：该学派基于等可能结果的概念来解释概率。在进行随机实验时，可以为等可能的事件分配相同的概率。不过，这种解释也存在一些困难，比如在计算概率之前如何定义等可能事件，以及如何定义非等可能事件的概率。

2. 集合论与概率