14、核经验正交函数（Kernel EOFs）：原理、应用与拓展

核经验正交函数（Kernel EOFs）：原理、应用与拓展

1. 背景

大气大尺度流动因系统动力学的非线性而处于非线性流形上，但可将该流形嵌入高维线性空间。系统可能存在多个子结构，识别和分离这些子结构属于模式识别领域。在天气和气候研究中，由于其复杂非线性，输入空间中的模式或相干结构不易分离。此时，可尝试将系统数据嵌入“特征空间”，通过非线性变换 φ(.) 简化复杂关系，使判别更高效。

例如，对于具有多项式非线性的数据，将其转换到包含构成非线性多项式的所有单项式的特征空间，可简化初始复杂关系。如二维输入空间 (x1, x2) 存在二次非线性，考虑所有次数小于 3 的单项式得到的五维空间 (x1, x2, x1², x2², x1x2) 可拆解初始复杂关系。不过，一般情况下分离并非易事，不同组之间的超曲面可能是非线性的，但仍可实现分离。

核EOF方法（或核PCA）的目标是找到一种嵌入或变换，以实现更轻松的判别或模式识别。该方法还可扩展到其他相关方法，如主振荡模式（POPs）或最大协方差分析（MCA）。核PCA在大气科学中应用较晚，早期研究表明其比传统PCA能更准确地捕捉数据本质。

2. 核EOF的原理

2.1 核EOF的公式推导

设 xt（t = 1, …, n）是 p 维零均值时间序列样本，协方差矩阵为 S。核EOF方法是一种非线性EOF分析，基于将输入数据空间通过非线性变换 φ(.) 映射到特征空间 F 进行EOF分析。若 φ(xt) = ξt，则核EOF是新变换数据的EOF。特征空间 F 的协方差矩阵 S 计算如下：
[S = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} \xi_t \xi_