77、基于商转移的高效两方指数运算

基于商转移的高效两方指数运算

1. 背景介绍

安全多方计算（MPC）允许一组参与方在不向彼此透露私有输入的情况下，联合计算其输入的任意函数，仅公开函数输出所包含的信息。近年来，MPC在机器学习领域的应用备受关注，但将MPC与深度学习结合时，存在一些技术难题，因为深度学习所需的各种操作（如除法、倒数运算、平方根和指数运算）在MPC中难以高效实现。

指数运算在MPC中有多种应用场景，如机器学习中频繁使用，在区块链等分布式系统中也可用于保护密钥。目前，指数运算的MPC协议主要分为三种情况：
- 公共底数：底数公开，指数为秘密。
- 公共指数：底数私有，指数公开。
- 私有指数：底数和指数均为私有。

本文主要关注公共底数的指数运算，这种情况在实际应用中很常见，例如深度学习中常需计算 $e^x$（$e$ 为自然常数）。

为了明确目标，我们重点关注指数运算MPC协议的三个特性：
- 基于加法秘密共享还是Shamir秘密共享。
- 诚实多数还是不诚实多数环境。
- 是否使用位分解。

我们的目标是在不诚实多数环境下，基于加法秘密共享构建一个不使用位分解的高效公共底数指数运算协议。

2. 秘密共享类型

在基于秘密共享构建MPC协议时，主要有两种秘密共享类型：加法秘密共享和Shamir秘密共享。
- 加法秘密共享 ：定义在有限加法群 $(G, +)$ 上。对于 $n$ 个参与方，一个秘密 $x \in G$ 会被随机分割为 $[x]_1, \cdots, [x]_n$，使得 $[x]_1 + \cdots +