杭电2019多校第三场 HDU-6608 Fansblog（威尔逊定理+素数间隔+逆元）

最新推荐文章于 2019-09-29 16:34:59 发布

Qingo呀

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分类专栏： =====数论===== 文章标签：威尔逊定理素数间隔逆元

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本文探讨了使用威尔逊定理解决大数阶乘求模问题的方法，通过查找给定素数前一个素数并利用快速乘算法进行计算。详细介绍了算法实现思路，包括素数验证、快速乘和幂次方运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

威尔逊定理：在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )，但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6608

题意：T组样例。每组样例，给出一个素数P(1e9≤P≤1e14)，Q是P的前一个素数求Q！%P。

思路：由威尔逊定理得： $(P-1)! mod P=-1$ ，即 $(P-1)!mod P=P-1$ 。又因为 $(Q!)*(Q+1)*(Q+2)*...*(P-1)=(P-1)!$ ，得到 $Q!(modP)=\frac{(P-1)!}{(Q+1)*(Q+2)*...*(P-1)} (mod P)$ 。

因为两个素数之间的间隔不会超过300,我们从P-1开始一个个查验找Q。再把（P-1）乘上[Q,P-1]的逆元即可。注意因为数很大，所有涉及乘的地方都要用快速乘。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e7+10;
ll mod;
int prime[N+10],cnt;
bool vis[N+10];
bool is_prime(ll x)
{
    for(int i=0;i<cnt&&(ll)prime[i]*prime[i]<=x;i++)
    {
        if(x%prime[i]==0)
            return 0;
    }
    return 1;
}
void get_prime()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;j<cnt&&(ll)i*prime[j]<=N;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;    
        }    
    }    
}
ll mul(ll a,ll b)
{
    ll res=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res%mod;
}
ll poww(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=mul(res,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(void)
{
    int t;
    get_prime(); 
    ll p,q;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&p);
        mod=p;
        q=p-1;
        while(!is_prime(q)) q--;
        //cout<<pp<<endl;
        ll ans=p-1;
        for(ll i=q+1;i<=p-1;i++)
            ans=mul(ans,poww(i,mod-2));
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}