卡塔兰数的应用

卡塔兰数定义

f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + ... + f(n-1)f(0)

      = f(k-1)f(n-k) k=1...n

以k为轴划分子问题，左边子问题的解的个数和右边子问题的解的个数是原问题以k为轴的解法的2个独立步骤，适用乘法原理

分别以1，2，。。。n为轴，是原问题的n种解法，适用加法原理。

int cantalan(int n) {
    vector<int> f(n + 1);
    f[0] = 1;
        
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int k = 1; k <= i; k++) //iterate the case k(1..i) as the root
            f[i] += f[k - 1] * f[i - k];
                
    return f[n];
}

应用：

1）给定n个括号，求所有合法括号组合数。

划分办法：第一个左括号分别和第k个(k=1...n)右括号结合，这样k左边有k-1个右括号（也必然有k-1个左括号，因为我们在讨论合法组合），解个数f(k-1)， k右边n-k个右括号，解个数f(n-k)

或者这么理解划分：第一个括号里放k个括号（可以是从0到n - 1)对问题是一个独立且完备的划分。f(n) = f(k) f(n -k) k=0..n-1

2）连乘加括号问题

划分办法：考虑乘号而不是数，第几个乘号之前的右括号和最前面的左括号结合。

3）给定一个集合，求可以构造的所有二叉查找树的个数：

划分：分别以每个数为root