矩阵(二)

在计算机几何图形中，矩阵的作用可以定义旋转，平移，缩放，投影，镜像等等，在三维设计软件中，对于物体的操作尤其重要。本篇需要用到向量的点乘和叉乘相关知识点和矩阵的基本概念，如果对向量和矩阵不太熟悉，可以先理解向量和矩阵的基本知识再来看本篇。

矩阵定义旋转

2D向量的旋转

3D向量的旋转

绕X轴的旋转矩阵

绕Y轴的旋转矩阵

绕Z轴的旋转矩阵

任意轴的旋转矩阵

向量的投影公式

向量绕任意轴的旋转

缩放矩阵

2D向量缩放

3D向量缩放

任意方向的缩放

2D向量的任意方向缩放

3D向量的任意方向缩放

正交投影矩阵

2D正交投影矩阵

3D正交投影矩阵

同样的道理，3D的正交投影矩阵是把三维的向量变成二维的向量。

任意方向的投影

2D任意方向投影

3D的任意方向投影

和2D矩阵的类似，3D的任意方向投影矩阵可以想象为任意方向的缩放，并且缩放因子k=0，使用3D任意方向缩放推导，3D的任意方向缩放矩阵：

镜像矩阵

2D镜像投影

3D镜像矩阵

根据3D任意方向缩放的矩阵，把k=-1即可得到3D镜像矩阵：

切变矩阵：

2D切变矩阵

3D切变矩阵

矩阵变换的组合：

根据矩阵的结合律，对于向量和多个矩阵相乘，可以先把矩阵相乘，结果成一个矩阵，再和向量相乘，从而提高效率。如：vABCD等于先把矩阵ABCD相乘，得到的一个结果矩阵M，再使用向量v和这个矩阵相乘，即：vABCD=v(ABCD)=vM，如果一个物体需要从物理坐标系转换到世界坐标系，再从世界坐标系转换到屏幕坐标系，那么先把各个坐标系转换的矩阵相乘，得到一个结果矩阵，再用物体和这个结果矩阵相乘，那么就大大的提高了效率了。

本篇参考了《3D数学基础：图形与游戏开发》这本书的内容。