机器人基础之运动学逆解

概述

运动学逆解是指已知机器人末端位姿，求解各运动关节的位置，它是机器人运动规划和轨迹控制的基础。
以机械臂为例，其运动学逆解的求法主要有两类：数值解和解析解。
数值解法只能求出方程的特解，不能求出所有的解。
它的优点是计算简单，不需要进行矩阵操作；缺点是由于使用了迭代法（如牛顿迭代），实时性较差。
这里主要介绍解析解法。
研究发现，如果串联机械臂在结构上满足下面两个充分条件中的一个，就会有解析解。这两个充分条件也被称为Pieper准则，即：

1. 三个相邻关节轴线交于一点
2. 三个相邻关节轴线相互平行

现代绝大多数工业机械臂都满足Pieper准则的第一个充分条件，即机械臂末端的三个关节的轴线相交于一点，该点通常称为腕点。
满足第二个充分条件的机器人较少，最典型的例子是SCARA机器人。之前我所在的公司应用SCARA构型的机器人进行工件的上下料。
假设机械臂满足Pieper准则的第一个充分条件，则机械臂的运动学方程可以写为$${}_6^{0}T={}_3^{0}T{}_6^{3}T$$其中，${}_3^{0}T$规定了腕点的位置，${}_6^{3}T$规定了腕部的方位。因此，运动学逆解也分为两步，先求解${\theta }_1$、${\theta }_2$、${\theta }_3$（腕点位置），再求解${\theta }_4$、${\theta }_5$、${\theta }_6$（腕部方位）。

求解腕点位置

将固连在机械臂腕部的三个坐标系{4}、{5}、{6}的原点设在腕点，则腕点相对于基坐标系{0}的位置为：$${}^0{P}_{6}o={}^0{P}_{4}o={}_1^{0}T{}_2^{1}T{}_3^{2}T{}^3{P}_{4}o$$其中，${}^3{P}_{4}o$即为变换矩阵${}_4^{3}T$的第4列，即$${}^0{P}_{4}o={}_1^{0}T{}_2^{1}T{}_3^{2}T\left[\begin{array}{c}{a}_3\\ -d_{4}sin{\theta }_3\\ d_{4}cos{\theta }_3\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(n)}$$令 $$\left[\begin{array}{c}{f}_1({\theta }_3)\\ f_2({\theta }_3)\\ f_3({\theta }_3)\\ 1\end{array}\right]={}_3^{2}T\left[\begin{array}{c}{a}_3\\ -d_{4}sin{\theta }_3\\ d_{4}cos{\theta }_3\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(n)}$$则有，$$f_1({\theta }_3)=a_{3}cos{\theta }_3+d_{4}sin{\theta }_{3}sin{\alpha }_3+a_2$$ $$f_2({\theta }_3)=a_{3}sin{\theta }_{3}cos{\alpha }_2-d_{4}cos{\theta }_{3}cos{\alpha }_{2}sin{\alpha }_3-d_{4}sin{\alpha }_{2}cos{\alpha }_3-d_{3}sin{\alpha }_2$$ $$f_3({\theta }_3)=a_{3}sin{\theta }_{3}sin{\alpha }_2-d_{4}cos{\theta }_{3}sin{\alpha }_{2}sin{\alpha }_3+d_{4}cos{\alpha }_2$$