机器人基础之雅克比矩阵

概述

雅克比矩阵$J(q)$是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，借助于机械原理中的概念，可以理解为广义传动比。
对于$n$个关节的机器人，其雅克比矩阵是$6\times n$阶矩阵。其中前3行代表机器人末端坐标系线速度$v$的传递比；后3行代表对手爪的角速度$\omega$的传递比。另一方面，每一列代表相应的关节速度对末端坐标系线速度和角速度的传递比。因此，可将雅克比矩阵分块，即$$\left[\begin{array}{c}v\\ \omega \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{J}_{l1}& J_{l2}& \cdot \cdot \cdot & J_{ln}\\ J_{a1}& J_{a2}& \cdot \cdot \cdot & J_{an}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ {\dot{q}}_1\\ {\dot{q}}_2\\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ {\dot{q}}_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

雅克比矩阵的构造

微分运动和广义速度

刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量$d$和微分转动矢量$\delta$。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成，后者由绕三坐标轴的微分转动组成。将两者合并为6维列矢量$D$，称为刚体或坐标系的微分运动矢量。$$D=\left[\begin{array}{c}d\\ \delta \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$ 相应地，刚体或坐标系的广义速度$V$是由线速度$v$和角速度$\omega$组成的6维列矢量。即 V = D ˙ = [ d ˙ δ ˙ ] (3) V=\dot D=\left[ \begin{matrix} \dot d\\ \dot\delta\\ \end{matrix} \right] \tag{3} V=D˙=[