10、经典IIR滤波器设计全解析

经典IIR滤波器设计全解析

1. 概述

在信号处理中，滤波器的设计至关重要。此前设计具有线性相位、特定通带波纹、阻带衰减和过渡带宽的滤波器时，若要实现高阻带衰减和窄过渡带，往往需要使用长的有限脉冲响应（FIR）滤波器，这会带来较高的计算成本。而经典无限脉冲响应（IIR）滤波器则是另一种选择。

经典IIR滤波器最初是在连续域中利用拉普拉斯变换开发的，它可以方便地设计出常见通带类型（低通、高通、带通和陷波）的递归数字滤波器。尽管这类滤波器通常不具备线性相位特性，但与FIR滤波器相比，它能以更低的计算开销实现陡峭的滚降和高阻带衰减，因此在数字信号处理中具有重要价值。

接下来，我们将依次介绍拉普拉斯变换、原型模拟滤波器，以及如何将模拟滤波器转换为等效的数字滤波器，还会介绍MathScript中用于设计经典IIR滤波器的函数，最后简要提及IIR优化算法。

2. 拉普拉斯变换

2.1 定义

离散时间傅里叶变换（DTFT）是连续域傅里叶变换的离散形式，而我们之前学过的z变换实际上是拉普拉斯变换的离散形式。拉普拉斯变换的定义为：
[
\mathcal{L}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt
]
其中，(s = \sigma + j\omega)，(\sigma)是实数，为阻尼因子，(\omega = 2\pi f)。

在实际应用中，大多数序列是右向的，即时间小于零的值恒为零。对于右向序列，z变换可简化为：
[
X(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} x[n] z^{-n}