10、FIR与IIR数字滤波器设计全解析

FIR与IIR数字滤波器设计全解析

1. FIR数字滤波器设计概述

FIR（有限脉冲响应）数字滤波器的设计方法多样，多数基于理想滤波器近似。随着滤波器阶数增加，设计出的滤波器能更接近理想特性，但实现也会更复杂。设计过程始于明确所需滤波器的规格和要求，具体采用哪种方法取决于滤波器的规格和实现方式。

FIR滤波器是非递归的，其输出仅依赖当前和过去的输入，描述输出的差分方程为：
[y[n] = \sum_{k = 0}^{M} b_k x[n - k]]
其中，(b_k) 是滤波器脉冲响应的连续项。在实际应用中，通常取10到100个系数。

对应的传递函数为：
[H[z] = \sum_{k = 0}^{M} b_k z^{-k}]

2. 截断与加窗

可实现的FIR低通滤波器系数可通过特定公式获得。截断无限长脉冲响应相当于将其与有限长窗函数相乘，窗函数决定了脉冲响应中应选取的系数数量，即能看到的脉冲响应部分。扩展窗函数可看到更多脉冲响应，从而更好地逼近理想滤波器响应。

加窗操作在时域进行，所需的脉冲响应系数通过理想脉冲响应与窗函数相乘得到：
[h_d[n] = h[n] w[n]]
其中，(h[n]) 是脉冲响应系数，(w[n]) 是窗函数系数。

3. 常用窗函数

• 矩形窗 ：最简单的窗函数，将理想脉冲响应截断在矩形区域内，相当于与如下函数相乘：
  [w[n] = \begin{cases}
  1, & 0 \leq n \leq N - 1 \
  0