53、自动化发现与二阶线性系统稳定控制

自动化发现与二阶线性系统稳定控制

自动化极值问题发现

算法流程

在解决初等极值问题时，有一套特定的算法流程：
1. 求解优化约束：
- (x_3 \to \pm \sqrt{x_1^2 + (1 - x_2)^2})
- (x_4 \to \pm \sqrt{(2 - x_1)^2 + (2 - x_2)^2})
2. 针对上述解的每种组合：
- 求解优化条件关于优化点无约束变量（(x_1)）的导数。
- 计算构造相关点的坐标。
- 将这组点添加到可能解的列表中。
3. 返回该列表。

结果展示与问题

这个可能解的列表会在GDI主屏幕的窗口中显示，若使用远程Mathematica内核，则通过浏览器显示。同时会给出坐标的数值近似，帮助学生在动态构造中定位点。不过，第一个点(X(-2, 0))并非优化解，它是由多项式限制导致的。

局限性与扩展

局限性

该方法存在一些局限性，例如多项式限制会引入虚假解，且方法并不完整。在初等层面，建议在教师指导下使用，因为有时会提出需要成熟数学技能或深入了解系统设计的微妙问题。

以寻找给定圆内接等腰三角形最大面积为例，在动态几何环境中，通常会在圆上放置两点(A(x_1, x_2))和(X(x_3, x_4))，通过线段(AX)的垂直平分线与圆的交点构造第三个顶点(B(x_7, x_8))。Mathematica求解多项式约束时会得到32个解：
- 8个是退化情况（(A = X)），此时点(B)定义不明确，由于优化条件为零，不计算导数。
- 1