9、时间分裂、网格细化与介观模拟方法解析

时间分裂、网格细化与介观模拟方法解析

1. 数值LBGK方案

在解决特定问题时，采用了格子玻尔兹曼（LB）方法的LBGK近似。LB方法基于对物理系统的介观描述，将空间用间距为Δx的网格或晶格离散化，时间用持续时间为Δt的离散时间步长离散化。晶格由其空间维度d和配位数z标识，传统上称为DdQz晶格。其中，重要的量是介观速度$v_i$（$i = 0, …, z$），表示粒子的允许速度。

系统的LBGK动力学由以下演化方程描述：
[
f_{i,X}(x + v_i\Delta t, t + \Delta t) = f_{i,X}(x, t) + \omega_X(f_{i,X}^{(eq)}(x, t) - f_{i,X}(x, t)) + \frac{\Delta tR(x, t)}{2d}
]
这里，$f_{i,X}(x, t)$是密度分布函数，$\omega_X$是松弛参数，$f_{i,X}^{(eq)}(x, t)$是平衡密度分布函数，$R(x, t)$有特定定义。方程右边第二项是非反应项$\Omega_{NR_{i,X}}$，第三项是反应项$\Omega_{R_{i,X}}$。

平衡密度分布和松弛参数分别为：
[
f_{i,X}^{(eq)}(x, t) = \frac{c_X}{2d}
]
[
\omega_X = \frac{2}{1 + \frac{2dD_X\Delta t}{\Delta x^2}}
]

2. 时间分裂方法

当扩散和反应的时间尺度差异很大时，采用时间分裂方法。将完整的数值方案（15）拆分为纯扩散和反应部分：