11、非线性系统的稳定性、可镇定性及实现理论

非线性系统的稳定性、可镇定性及实现理论

1. 非线性系统可镇定性概述

考虑非线性系统：
(\dot{y} = f(y, u))，(y(0) = x) （7.34）
其中 (U \subset R^m) 是控制参数集，(f: R^n \times U \to R^n) 是连续函数，且存在 (\bar{x} \in R^n) 和 (\bar{u} \in U) 使得 (f(\bar{x}, \bar{u}) = 0)。反馈定义为任意连续函数 (v: R^n \to U)，满足 (v(\bar{x}) = \bar{u})。反馈确定闭环系统：
(\dot{z} = g(z))，(z(0) = x \in R^n) （7.35）
这里 (g(x) = f(x, v(x)))，(x \in R^n) （7.36）

若 (\bar{x}) 是（7.35）的稳定平衡点，则反馈 (v) 是镇定的。若状态 (\bar{x}) 分别为指数稳定、渐近稳定或李雅普诺夫稳定，则反馈 (v) 分别以指数、渐近或李雅普诺夫意义镇定（7.34）。若系统（7.34）存在具有指定性质的反馈，则称系统（7.34）是指数、渐近或李雅普诺夫可镇定的。镇定问题包括制定（7.34）右侧的可检查条件以暗示可镇定性，并构造镇定反馈。为简化记号，假设 (\bar{x} = 0)，(\bar{u} = 0)。

2. 指数可镇定性

首先研究指数可镇定性，考虑 (0 \in R^m) 是 (U) 的内点，且函数 (f) 以及允许的反馈分别在 ((0, 0) \in R^n \times R^m) 和 (0 \in R^n) 处可微的情况。根据定义，若存在反馈 (v) 以及数