非线性控制（3）——时不变系统的稳定性分析

#本系列文章为笔者自学非线性控制理论的学习记录，如有不正之处欢迎指正

#参考书籍《非线性控制》Hassan K. Khalil

1.Lyapunov方法

1.1定理描述

  设是包含原点的一个区域，为定义在D上的局部Lipschitz函数，且，令是定义在D上的连续可微函数，且满足

则原点是f(x)的稳定平衡点，如果进一步有：

则原点是f(x)的渐进稳定平衡点。

如果，式(1)(3)对所有均成立，且

则原点是全局渐进稳定的。

1.2直观解释

  如果一个连续可微函数V（x）满足上述的定义，则称V（x）为Lyapunov函数，对固定的，集合称为一个Lyapunov面。下图显示了伴随c的增加Lyapunov面的变动情况。式(2)表明，当轨线穿过某个Lyapunov面时，总是向集合内部走的，并且不再出来。当满足式(3)时，轨线从一个Lyapunov面走向其内部c值更小的Lyapunov面，随着c的减小，最终Lyapunov面将收缩于原点，表明随着时间增长，轨线也将趋于原点。

注：Lyap