64、最小有效编程系统特性与图灵后数学建模

最小有效编程系统特性与图灵后数学建模

1. 最小有效编程系统特性

在可计算性理论中，对于有效编程系统（eps）的研究有着许多重要的成果。这里我们关注一些关于最小 eps 的特性和相关定理。

1.1 相关定义和符号

• 小写数学斜体字母（如 i, p, x 等），除非另有说明，通常表示自然数集合 N 中的元素；大写数学斜体字母（如 I, P, X 等）表示 N 的子集。
• 对于非空集合 X，min X 表示 X 中的最小元素，定义 min ∅ = ∞；对于非空有限集合 X，max X 表示 X 中的最大元素，定义 max ∅ = -1。Fin 表示 N 的所有有限子集的集合。
• ⟨·, ·⟩ 表示任意固定的配对函数，是一个从 N² 到 N 的一对一、满射且可计算的函数。对于 x, y, z，⟨x, y, z⟩ 定义为 ⟨x, ⟨y, z⟩⟩；对于集合 X 和 Y，X × Y 定义为 {⟨x, y⟩ | x ∈ X 且 y ∈ Y}。
• 对于部分函数 ζ，ζ(x)↓ 表示 ζ(x) 收敛，ζ(x)↑ 表示 ζ(x) 发散，用 ↑ 表示发散计算的值。对于 i 和 n，定义 i<n 为：
  [
  i<n = \lambda x
  \begin{cases}
  i, & \text{如果 } x < n \
  \uparrow, & \text{否则}
  \end{cases}
  ]
• rng(ζ) 表示 ζ 的值域，PartComp 表示所有从 N 到 N 的部分可计算函数的集合。
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