61、有限代数中的可合一性与可允许性

有限代数中的可合一性与可允许性

1. 预备知识

在通用代数领域，对于一种语言 $L$，我们用 $FmL$ 表示基于可数无限多个变量的公式代数，$\phi$ 和 $\psi$ 代表 $FmL$ 中的任意成员，即 $L$-公式。一个 $L$-方程是一对 $L$-公式，写作 $\phi \approx \psi$。一个 $L$-子句是有限 $L$-方程组的有序对，写作 $\Sigma \Rightarrow \Delta$。当 $|\Delta| = 1$ 时，它被称为 $L$-拟方程；当 $\Delta = \varnothing$ 时，它被称为 $L$-负子句。若语言在上下文中明确，我们可省略前缀 $L$。

设 $K$ 为一类 $L$-代数，在后续讨论中，$K$ 常由单个有限 $L$-代数 $A$ 组成。若存在同态 $h: FmL \to A$ 使得 $\Sigma \subseteq \ker h$，则称 $L$-方程集 $\Sigma$ 在 $L$-代数 $A$ 中是可满足的。当 $\Sigma \cup \Delta$ 有限时，若对于每个 $A \in K$ 和同态 $h: FmL \to A$，$\Sigma \subseteq \ker h$ 都意味着 $\Delta \cap \ker h \neq \varnothing$，我们写作 $\Sigma |=_K \Delta$，并说 $L$-子句 $\Sigma \Rightarrow \Delta$ “在 $K$ 中成立”。

若 $K$ 是所有使 $\Lambda$ 中所有 $L$-子句都成立的 $L$-代数 $A$ 的类，则称 $K$ 由 $L$-子句集 $\Lambda$ 公理化。若 $K$ 分别由 $L$-方程集