53、全算法度与诚实函数度：理论与关联

全算法度与诚实函数度：理论与关联

在计算理论的研究中，全算法度和诚实函数度是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的联系，并且各自有着独特的性质和研究价值。

1. 全算法的PA可证性度

首先，我们有一系列的 $\Delta_0$ 语句 $\Phi_0, \Phi_1, \Phi_2, \cdots$ ，对于这些语句，有如下关系：
[N \models \exists z\Phi_i(x_1, x_2, z)
\left[
s_{x_1,x_2}
^{a,b}
\right]
\Leftrightarrow
\varphi_i(a) = b
]
我们定义 $tot(\Phi_i) \equiv \forall x\exists yz\Phi_i(x, y, z)$ ，语句 $\Phi_i$ 的索引 $i$ 描述了一个计算函数 $\varphi_i$ 的算法。若 $tot(\Phi_i)$ 为真，则该算法是全算法（即对任何输入都能产生输出）。我们将全算法的集合记为 $A_{tot} = {i | N \models tot(\Phi_i)}$ ，并定义全算法上的可归约关系 $\leq_p$ 为：
[i \leq_p j
\Leftrightarrow
PA + tot(\Phi_j) \vdash tot(\Phi_i)
]
全算法的PA可证性度就是由 $\leq_p$ 在 $A_{tot}$ 上诱导的等价类。

Cai对全算法的PA可证性度进行了研究，证明了其结构是一个分配格，任何严格高于零度的度都有不可比较的度，并且存在极小对。他还研究了跳跃算子，