47、无限博弈与多重归纳定义的超限递归

无限博弈与多重归纳定义的超限递归

上半部分

1. 基础定义与系统

在数学逻辑领域，有一些重要的基础定义和系统。首先是两个重要的公理：
- C ∩C− - CA ：$\forall x(\phi(x) \leftrightarrow \psi(x)) \to \exists X\forall x(x \in X \leftrightarrow \phi(x))$，其中$\phi(x)$和$\neg\psi(x)$属于类$C$，并且$X$在$\phi(x)$中不自由出现。
- C - AC ：$\forall x\exists X\phi(x, X) \to \exists X\forall x\phi(x, X_x)$，其中$\phi(x, X)$属于类$C$，且$X_x = {y : (x, y) \in X}$。

系统$ACA_0$由$(\omega, +, \cdot, 0, 1, <)$的有序半环公理、$\Sigma^0_1 - CA$和$\Sigma^0_1 - IND$组成。对于句子集合$\Lambda$，$\Lambda_0$表示由$ACA_0$加上$\Lambda$构成的系统。通过$\Delta^i_n - CA$，我们表示$\Sigma^i_n \cap (\Sigma^i_n)^- - CA$。可以容易证明，对于任意$k \geq 0$，$\Delta^1_k - CA_0 \subset \Sigma^1_k - AC_0$，并且当$k = 2$时，这两个公理是等价的。

对于带有在$N^N$上取值的不同变量$f$的公式$\phi$，我们