22、随机、计算与数学：概念、应用与关联

随机、计算与数学：概念、应用与关联

1. 随机数的复杂度与定义

在随机数的研究中，我们发现对于所有的 (n)，一个实数 (X) 满足 (C(X ↾n) \geq + n) 是不可能的。不过，Martin - L¨of 在其论文中指出，存在实数 (X) 使得 (C(X ↾n) \geq + n) 对于无穷多个 (n) 成立。Joe Miller 以及后来的 Nies、Stephan 和 Terwijn 证明了这类随机数恰好是 2 - 随机数，之后 Miller 又表明 2 - 随机数正是那些无限次达到最大无前缀复杂度 ((n + K(n))) 的数。Becher 和 Gregorieff 也对更高层次的随机数给出了一种索引集刻画，但目前对于 3 - 随机数等其他类型，还没有自然的定义。

在这些研究中，另一个思路是摒弃 Kolmogorov 复杂度，尝试用全机器重新定义算法随机性。这里引入了 Solovay 函数的概念：
- 定义 ：一个可计算函数 (f) 是 Solovay 函数，当且仅当 (\sum_{n} 2^{-f(n)} < \infty) 且 (\liminf_{n} f(n) - K(n) < \infty)（即存在一个 (c)，使得对于无穷多个 (n) 有 (f(n) \leq K(n) + c)）。
- 定理 ：设 (f) 是可计算函数，则 (f) 是 Solovay 函数等价于 (\sum_{n} 2^{-f(n)}) 是 1 - 随机实数。

此外，有效维度的研究也有很多成果。例如，Mayordomo 证明了 (X) 的有效 Hausdorff 维度等于 (\