6、图灵的正规数：迈向随机性

图灵的正规数：迈向随机性

在数学领域，正规数的研究是一个充满挑战和魅力的课题。本文将深入探讨图灵在正规数方面的开创性工作，以及正规数相关的重要概念和构造方法。

1. 给出正规数实例的问题

• 正规数的定义 ：1909 年，埃米尔·博雷尔（Émile Borel）定义了实数的正规性，这是一种随机性的形式。一个实数对于给定的整数基是正规的，如果它的无限展开是高度平衡的，即相同长度的每个数字块在该基下的展开中必须以相同的极限频率出现。例如，对于以 2 为基的正规数，数字“0”和“1”最终各出现一半的次数，“00”、“01”、“10”和“11”各出现四分之一的次数，依此类推。一个对每个整数基都正规的实数称为绝对正规数，简称正规数。
• 博雷尔的问题 ：博雷尔证明了几乎所有的实数都是正规的（即正规数集的勒贝格测度为 1），并要求给出一个明确的例子。从那时起，对正规性的结果进行猜想比对其进行证明要容易得多。特别是，像 π、√2 和 e 等基本数学常数是否对某个整数基是正规的，至今仍未得到证明。虽然已经证明存在对一个基正规但对另一个基不正规的数，但尚未给出具体例子。
• 已知的构造方法 ：到目前为止，有几种构造正规数的方法。1917 年，亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）和瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Sierpiński）独立给出了最早的正规数例子，通过对原始构造进行可计算的重新表述，也可以得到可计算的实例。图灵在 1938 年撰写的手稿“关于正规数的笔记”中给出了一个算法，该算法可以生成对每个整数基都正规的实数，这首次证明了可计算正