2、序数分析与无限拉姆齐定理

序数分析与无限拉姆齐定理

1. 引言

无限拉姆齐定理断言，对于每个 $k \geq 1$ 以及将自然数集 $\mathbb{N}$ 的 $k$ 元子集用有限种颜色进行染色，都存在 $\mathbb{N}$ 的一个无限子集，其所有 $k$ 元子集都具有相同的颜色。当固定 $k$ 时，该陈述记为 $RT(k)$。已知对于任何 $k \geq 3$，$ACA_0$ 与 $RT(k)$ 等价，但一般的拉姆齐定理断言 $\forall x RT(x)$（简记为 $iRT$）比 $ACA_0$ 更强。

对于 $b \geq 1$，记 $F : [A]^n \to b$ 表示 $F$ 将 $A$ 的 $n$ 元子集映射到集合 ${0, \ldots, b - 1}$。若 $F$ 在 $[X]^n$ 上为常数，则称 $X \subseteq A$ 对于 $F$ 是单色的。

从 Jockusch 的工作可知，$iRT$ 在 $ACA_0$ 中不可证。更精确地，对于每个 $n \geq 0$，存在递归的 $F : [\mathbb{N}]^{n + 2} \to 2$，使得 $\varnothing$ 的 $n$ 次图灵跳跃在任何无限的 $F$ - 单色 $X \subseteq \mathbb{N}$ 中是递归的。另一方面，对于每个递归的 $F : [\mathbb{N}]^n \to b$ 和 $n \geq 0$，存在在 $\varnothing$ 的 $n$ 次图灵跳跃中递归的 $F$ - 单色 $X$。

对于 $X, Y \subseteq \mathbb{N}$ 和 $n < \omega$，用 $jump(n, X, Y)$ 缩写表示 $Y$ 是 $X$ 的