12、无限国际象棋与拉姆齐定理相关研究

无限国际象棋与拉姆齐定理相关研究

1. 无限国际象棋的可判定性问题

1.1 高维无限国际象棋的可判定性

在无限国际象棋中，对于 $k$ 维的情况，其在 $n$ 步内将死对方的问题是可判定的。虽然棋子移动规则在不同情境下有多种合理但不兼容的规则，不过主要定理的证明方法在高维情形下同样适用。

1.2 三维无限国际象棋的序数性质

研究表明，三维无限国际象棋中无限局面的 $\omega_1$ 恰好是真正的 $\omega_1$，即每个可数序数都能作为三维无限国际象棋某个无限局面的游戏值。

1.3 具体棋局分析

以一个具体棋局为例，白方先走 $Qe5+$，黑王被迫走到 $kg4$。之后有两种走法：
- 走法一：白方接着走 $Rg3+ kh4 Qg5+ ki4$，将黑王向白王方向驱赶，在白方第 13 步实现将死。
- 走法二：白方在 $Qe5+ kg4$ 后走 $Ks4$，将白王向左移动，从另一侧迫使两王靠近，同样在第 13 步由皇后实现将死。

白方无法在 12 步内将死黑方，因为若两王不相邻，单靠王、皇后和车对单王无法形成将死局面，所以白方至少需要 12 步使两王靠近，再加上将死的一步，至少需要 13 步。不过，白方可以在 12 步内逼成僵局，先走 $Qe5+$，之后只移动白王靠近黑王，第 12 步时黑王被困在 $f4$ 无合法走法。此外，白方还能在 3 步内通过重复局面逼和，通过 $Qe5+ kg4 Ri3 kh4 Qf6+$，用白皇后和车将黑王困在一个 $4×4$ 的区域内，使黑王只能在两个格子移动。

下面用表格总结白方的不同走法及结果：
|走法