13、无限脉冲响应数字滤波器设计

无限脉冲响应数字滤波器设计

1 阶跃响应不变变换

1.1 基本原理

在将连续时间传递函数转换为离散时间传递函数时，阶跃响应不变变换是一种有效的方法。其基本步骤如下：
1. 确定 (G(s))：通过公式 (G(s)=\frac{H(s)}{s}) 计算，其中 (H(s)) 是模拟传递函数。
2. 求时域响应 (g(t))：使用拉普拉斯逆变换 (g(t)=L^{-1}{G(s)})。
3. 离散化：对 (g(t)) 进行采样，得到离散时间响应 (g(nT))，即 (g(nT)=g(t)|_{t = nT})。
4. 求 (G(z))：使用 (z) 变换 (G(z)=Z{g(nT)}=\frac{H(z)}{1 - z^{-1}})。
5. 得到 (H(z))：通过 (H(z)=(1 - z^{-1})G(z)) 计算离散时间传递函数。

与脉冲不变变换相比，阶跃响应不变变换在开头增加了将模拟传递函数除以 (s) 的步骤，在结尾增加了将数字传递函数乘以 ((1 - z^{-1})) 的步骤。

1.2 示例

示例 1

问题：将连续时间传递函数 (H(s)=\frac{12}{(s + 2)(s + 5)}) 转换为离散时间传递函数，使用阶跃响应不变变换方法。
解决方案：
1. 计算 (G(s))：
[G(s)=\frac{H(s)}{s}=\frac{12}{s(s + 2)(s + 5)}=\frac{2.1}{s}-\frac{0.2}{s + 2}+\frac{0.8}{s + 5}]
2. 求 (g(t))：
[