12、离散时间系统与无限脉冲响应数字滤波器设计

离散时间系统与无限脉冲响应数字滤波器设计

离散时间系统示例分析

在离散时间系统的研究中，我们通过一个具体的例子来深入了解其特性。给定一个离散时间系统的差分方程：
[
\begin{align }
&y(n)-0.2y(n - 1)+1.81y(n - 2)-0.68y(n - 3)\
=&0.1x(n)+0.3x(n - 1)+0.3x(n - 2)+0.1x(n - 3)
\end{align }
]
我们的目标是确定该系统的脉冲响应、传递函数、频率响应，找到系统的极点和零点位置，绘制系统图，并在输入为特定模拟信号时确定系统的输出。假设采样频率为 20,000 样本/秒，输入模拟信号为：
[x(t)=10 + 5\cos(2\pi\times2000t - 60^{\circ})+20\sin(2\pi\times8000t + 30^{\circ})]

首先，对差分方程进行变换以得到系统的传递函数 (H(z))：
[H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{0.1 + 0.3z^{-1}+0.3z^{-2}+0.1z^{-3}}{1 - 0.2z^{-1}+1.81z^{-2}-0.68z^{-3}}]
将 (H(z)) 转换为正幂次形式后进行因式分解，得到极点和零点位置。结果显示，系统有三个零点 (z = -1.0) 和三个极点 (z = 0.8) 以及 (z = 0.6\pm j0.7)，即：
[H(z)=\frac{(z + 1)^3}{(z - 0.8)(z^2 - 1.2z + 0.85)}]
频率响应可通过将 (