SDUT 3803 离散题目9

本文介绍了一种通过程序判断函数是否为单射的方法。给定两个集合A和B及它们之间的映射关系,通过一系列输入输出操作,验证每个A中的元素是否唯一对应B中的元素,且不重复。

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Problem Description

给定一个数学函数F和两个集合A,B,写一个程序来确定函数是单射。

即A中的任意一个元素唯一的对应一个函数值,并且该值为B集合中的某个元素。

Input

多组输入。

首先输入集合的元素数n<=100000。

接下来的一行输入n 个整数0<=ai<=n。

接下来的一行输入n个整数 0<=bi<=n。

接下来的一行输入2n个整数ci,并且当ci的下标为奇数时表示A集合中的元素,当ci的下标为偶数时表示A集合中元素对应的函数值(即B集合的元素)。

Output

(一组答案占一行)

当满足单射关系时输出yes

不满足关系时输出no

Example Input

4
1 3 5 7
2 5 6 8
1 2 3 2 5 8 7 6
2
1 4
3 5
1 3 1 5

Example Output

yes
no

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n, i, num, num1;
    set<int> a, b;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        for(i = 0; i < n; i++)//集合a
        {
            scanf("%d", &num);
            a.insert(num);
        }
        for(i = 0; i < n; i++)//集合b
        {
            scanf("%d", &num);
            b.insert(num);
        }
        int flag = 0, num2;
        for(i = 1; i <= 2 * n; i = i + 2)
        {
            scanf("%d", &num);//奇数 i
            scanf("%d", &num1);//偶数 i
            if(i % 2 != 0)//奇数
            {
                if(a.count(num) && b.count(num1))//映射
                {
                    a.erase(num);//删除集合a的元素
                }
                else flag = 1;//同一个x对应多个y
            }
        }
        num1 = a.size();//a中无元素
        if(!flag && !num1) printf("yes\n");
        else printf("no\n");
        a.clear(); b.clear();
    }
    return 0;
}
### 离散数学中幺元和逆元的定义与求法 #### 幺元的定义 在代数系统中,若集合 \( Z \) 上定义了一个二元运算 \( * \),并且存在一个元素 \( e \in Z \),使得对于任意 \( x \in Z \),满足以下条件: \[ e * x = x * e = x \] 则称 \( e \) 为该运算下的 **幺元**(或单位元)。幺元是针对整个代数系统而言的,并且在一个代数系统中,幺元是唯一的[^1]。 #### 逆元的定义 在代数系统中,若集合 \( Z \) 上定义了一个二元运算 \( * \),并且存在幺元 \( e \in Z \),对于某个元素 \( x \in Z \),如果存在一个元素 \( y \in Z \),使得: \[ x * y = y * x = e \] 则称 \( y \) 是 \( x \) 的 **逆元**。根据定义,只有当代数系统中存在幺元时,才能讨论逆元的概念。此外,若 \( x \) 是可逆的,则它的左逆元等于右逆元,并且逆元是唯一的[^1]。 #### 幺元的求法 要确定一个代数系统中的幺元,可以通过检查所有可能的元素是否满足上述定义来实现。具体步骤如下: - 遍历集合 \( Z \) 中的所有元素。 - 对于每个元素 \( e \),验证它是否对集合中的每一个元素 \( x \) 满足 \( e * x = x * e = x \)。 - 如果找到这样的元素 \( e \),则它是幺元;否则,该代数系统没有幺元。 #### 逆元的求法 求解逆元的前提是代数系统中已经存在幺元。以下是求解逆元的方法: - 给定一个元素 \( x \in Z \),遍历集合 \( Z \) 中的所有元素 \( y \)。 - 检查是否存在某个 \( y \),使得 \( x * y = y * x = e \)(其中 \( e \) 是幺元)。 - 如果找到这样的 \( y \),则它是 \( x \) 的逆元;否则,\( x \) 没有逆元。 #### 示例代码:计算幺元和逆元 以下是一个简单的 C++ 示例代码,用于计算给定代数系统中的幺元和逆元: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int k, q, x; // 输入幺元 k 和查询次数 q cin >> k >> q; cout << k << endl; // 输出幺元 for (int i = 0; i < q; ++i) { cin >> x; // 计算逆元:k + k - x cout << (k + k - x) << endl; } return 0; } ``` 此代码假设代数系统的运算形式为 \( a * b = a + b - k \),其中 \( k \) 是幺元。通过公式 \( k + k - x \),可以快速计算出 \( x \) 的逆元[^3]。 #### 注意事项 - 若代数系统中不存在幺元,则无法讨论逆元的概念[^2]。 - 逆元的存在性依赖于代数系统的具体定义和运算规则。某些情况下,可能存在部分元素没有逆元。 ###
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