离散题目11 SDUT 离散数学 OJ3805

这是一道离散数学题目,要求编写程序检查给定的数学函数是否为从集合a到集合b的双射。输入包含集合a、b的元素数量及映射关系,输出"YES"或"NO"表示函数是否双射。

离散题目11

Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 65536 KiB

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Problem Description

给定一个数学函数写一个程序来确定该函数是否是双射的

Input

多组输入。 第一行输入三个整数n,m,k,分别表示集合a中的元素个数,集合b中的元素个数,集合a到b的映射个数。 第二行输入n个数,代表集合a中的元素。 第三行输入m个数,代表集合b中的元素。接下来k行,每行两个数,代表集合a中的元素x和x在集合b中的像y。

Output

每组数据输出一行,若F为a到b的双射,输出"YES", 否则输出"NO"。

Sample Input

5 5 5
1 2 3 7 8
2 5 6 9 0
1 9
3 2
2 6
7 0
8 5

Sample Output

YES

Hint

保证集合a中元素无重复,集合b中元素无重复,映射关系无重复(如:{,})

1<=n,m,k<=1000

1<=a[i], b[i]<=10000

x∈a, y∈b 

### 离散数学中幺元和逆元的定义与求法 #### 幺元的定义 在代数系统中,若集合 \( Z \) 上定义了一个二元运算 \( * \),并且存在一个元素 \( e \in Z \),使得对于任意 \( x \in Z \),满足以下条件: \[ e * x = x * e = x \] 则称 \( e \) 为该运算下的 **幺元**(或单位元)。幺元是针对整个代数系统而言的,并且在一个代数系统中,幺元是唯一的[^1]。 #### 逆元的定义 在代数系统中,若集合 \( Z \) 上定义了一个二元运算 \( * \),并且存在幺元 \( e \in Z \),对于某个元素 \( x \in Z \),如果存在一个元素 \( y \in Z \),使得: \[ x * y = y * x = e \] 则称 \( y \) 是 \( x \) 的 **逆元**。根据定义,只有当代数系统中存在幺元时,才能讨论逆元的概念。此外,若 \( x \) 是可逆的,则它的左逆元等于右逆元,并且逆元是唯一的[^1]。 #### 幺元的求法 要确定一个代数系统中的幺元,可以通过检查所有可能的元素是否满足上述定义来实现。具体步骤如下: - 遍历集合 \( Z \) 中的所有元素。 - 对于每个元素 \( e \),验证它是否对集合中的每一个元素 \( x \) 满足 \( e * x = x * e = x \)。 - 如果找到这样的元素 \( e \),则它是幺元;否则,该代数系统没有幺元。 #### 逆元的求法 求解逆元的前提是代数系统中已经存在幺元。以下是求解逆元的方法: - 给定一个元素 \( x \in Z \),遍历集合 \( Z \) 中的所有元素 \( y \)。 - 检查是否存在某个 \( y \),使得 \( x * y = y * x = e \)(其中 \( e \) 是幺元)。 - 如果找到这样的 \( y \),则它是 \( x \) 的逆元;否则,\( x \) 没有逆元。 #### 示例代码:计算幺元和逆元 以下是一个简单的 C++ 示例代码,用于计算给定代数系统中的幺元和逆元: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int k, q, x; // 输入幺元 k 和查询次数 q cin >> k >> q; cout << k << endl; // 输出幺元 for (int i = 0; i < q; ++i) { cin >> x; // 计算逆元:k + k - x cout << (k + k - x) << endl; } return 0; } ``` 此代码假设代数系统的运算形式为 \( a * b = a + b - k \),其中 \( k \) 是幺元。通过公式 \( k + k - x \),可以快速计算出 \( x \) 的逆元[^3]。 #### 注意事项 - 若代数系统中不存在幺元,则无法讨论逆元的概念[^2]。 - 逆元的存在性依赖于代数系统的具体定义和运算规则。某些情况下,可能存在部分元素没有逆元。 ###
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