58、子模划分函数宽度计算与图守护问题的复杂性分析

子模划分函数宽度计算与图守护问题的复杂性分析

1. 子模划分函数宽度计算相关内容

1.1 部分分解树构造与性质

通过将 $T’_i$ 连接到对应划分 $[Y_1, \ldots, Y_p, \cup Y_i]$ 的单个节点来构造部分分解树 $T$。由于 $\psi([Y_1, \ldots, Y_p, \cup Y_i]) \leq \psi([C_1, \ldots, C_p]) \leq k$（由 $\psi([Y_1, \ldots, Y_p, \cup Y_i])$ 的最小性），该划分属于 $P_k[\psi]$。所以 $T$ 是与 $P_k[\psi]$ 兼容的 $\cup Y_i$ 的部分分解树，进而 $\cup Y_i \in T$。又因为 $\cup C_i \subseteq \cup Y_i$，所以 $\cup C_i \in T$。若 $E \in T$，则 $E$ 是 $k$ - 分支的，且 $E$ 的部分分解树实际上是 $\psi$ 的分解树，这与 $\psi$ 没有与 $P_k[\psi]$ 兼容的分解树这一事实矛盾，因此 $E \notin T$，且 $(P3)$ 成立，可得出 $T$ 是松散的 $P_k[\psi]$ - 缠结。

1.2 辅助函数定义与性质

• 函数 $g_n$ ：定义 $g_n: 2^E \to N$，其中 $E = {1, \ldots, 2n}$，$g_n(X) = \min{|X|, |X|}$。可以证明 $g_n$ 是子模的，证明过程如下：
  • 考虑两个子集 $X$ 和 $Y$。