93、图信号的下采样与上采样

图信号的下采样与上采样

1. 引言

在图信号处理（GSP）中，获取某些节点的信号值可能存在困难。例如在合作图里，部分作者可能未在相关学术网站上登记个人资料，导致难以获取他们的 h 指数值。不过，依据 h 指数的特性以及图模型所捕捉的合作结构，我们能够推断出这些作者在稳定状态下可能达到的 h 指数值。这一推断问题可转化为从图信号（GS）的采样版本中恢复原始信号的问题，或者将其视为图信号上采样的问题。因此，开发一套适用于 GSP 的采样理论至关重要，它能帮助我们解决诸如在何种条件下可从采样版本完美重建 GS 以及哪些样本有利于更准确、稳健地重建完整 GS 等问题。

2. 带限图信号

在经典数字信号处理（DSP）中，处理多速率信号和滤波器是常见需求。同样，在许多 GSP 应用中，底层抽象问题也可归结为某种信号的多速率操作或系统的多速率设计。然而，图域的一般性虽在建模方面带来诸多优势，但也引发了一些挑战，因为图域失去了经典 DSP 工具所依赖的某些特性。例如，离散时间信号以 2 为因子的下采样操作可通过丢弃信号的奇数样本直接实现，但这一操作在 GSP 中的推广并不简单，因为对于一般图而言，“奇数节点”并非明确定义的概念。为此，人们开发了大量图采样方法，应用于滤波器组、主动学习、数据插值等多个领域。

在经典信号处理中，香农 - 奈奎斯特采样定理表明，若采样率至少为带宽的两倍，采样的带限信号可通过 sinc 插值完美恢复。具体而言，若 $f(t)$ 是连续的平方可积函数，且对于所有 $|\xi| > \xi_b$ 有 $\hat{f}(\xi) = 0$，采样频率 $\xi_s \geq 2\xi_b$，则 $f(t)$ 可通过以下插值公式恢复：
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