39、热导率系数的识别与数值求解

热导率系数的识别与数值求解

1. 热传导问题的数学模型

热传导过程可以用以下偏微分方程来描述：
[C(s)\frac{\partial T(s, t)}{\partial t} = \text{div}_s(K(T(s, t))\nabla_sT(s, t)),\quad (s, t)\in Q \times (0, \Theta]]
其中，
- (t) 表示时间；
- (T(s, t) \equiv T(x, y, z, t)) 是在时间 (t) 时，坐标为 ((x, y, z)) 的点 (s) 处材料的温度；
- (C(s)) 是材料的体积热容；
- (K(T)) 是热导率系数。

同时，还需要满足以下初始条件和边界条件：
- 初始条件：(T(s, 0) = w_0(s),\quad s \in Q)
- 边界条件：(T(s, t) = w_{\Gamma}(s, t),\quad s \in \Gamma, 0 \leq t \leq \Theta)

如果已知热导率系数 (K(T)) 与温度 (T) 的关系，就可以求解上述混合问题，得到 (Q \times [0, \Theta]) 内的温度分布 (T(s, t))。

2. 逆系数问题与变分问题

逆系数问题是要找到热导率系数 (K(T)) 与温度 (T) 的关系，使得通过求解直接问题得到的温度场 (T(s, t)) 与实验得到的温度场 (Y(s, t)) 尽可能接近。可以用以下泛函来衡量两者的差异：
[\Phi(K(T)) = \int_{0}^{\Theta}\int_{Q}[T(s, t)