26、非凸下层的双层优化问题与两机路由开放式车间问题研究

非凸下层的双层优化问题与两机路由开放式车间问题研究

1. 非凸下层的双层优化问题

在解决一类具有非凸下层的双层优化问题（BOPs）时，提出了一种新的寻找乐观解的方法。

1.1 全局最优性条件相关不等式

存在不等式：
[G_{\sigma}(\theta) - \gamma \geq \langle \nabla H_{\sigma}(\eta), \theta - \eta \rangle, \forall \theta \in S’]
条件具备所谓的构造性（算法性）属性，即若该不等式被违反，可构造出比当前点更优的可行点。

1.2 凸（线性化）问题

基于上述条件，产生了如下依赖于(\eta \in \mathbb{R}^{m + n_1 + n_2 + 2})且满足等式的凸（线性化）问题：
[\Psi_{\sigma \eta}(\theta) := G_{\sigma}(\theta) - \langle \nabla H_{\sigma}(\eta), \theta \rangle \downarrow \min_{\theta}, \theta \in S’]
线性化是针对问题中整合到函数(H_{\sigma}(\cdot))的“统一”非凸性实现的。

1.3 局部搜索方案

• 特殊局部搜索方法（SLSM） ：当惩罚参数(\sigma := \bar{\sigma} > 0)固定时，问题属于规范的非凸优化类，即D.C.最小化（在凸可行集上）。可应用SLSM（DCA），该方法通过连续求解线性化问