10、渐近最优算法与多维背包问题的FPTAS

渐近最优算法与多维背包问题的FPTAS

1. 渐近最优算法在m - d - UMST问题中的应用

在研究m - d - UMST（m维有界直径无向最小生成树）问题时，设定 $\lambda_n = 1$，在条件 $\frac{b_n}{a_n} = o(\frac{n}{\ln n})$ 下，相对误差 $\varepsilon_n$ 会趋近于0。
- 失败概率估计 ：借助Petrov定理和引理6，我们来估计算法A的失败概率 $\delta_n$。定义 $\delta_n = P{W’_A > \lambda_n EW’_A} = P{W’_A > 3m \ln n}$。设定常数 $h_k$ 如同情况1，令 $T = 1$ 且 $x = 3m \ln n$。考虑引理4以及 $x$、$T$、$H$ 和 $d \geq \frac{n}{\ln n}$ 这些值，有不等式 $TH \leq \frac{mn}{d} < 3m \ln n = x$ 成立。依据Petrov定理，由于 $Tx^2 > m \ln n$，可得 $\delta_n = P{W’_A > x} \leq \exp(-Tx^2) \leq \exp(-m \ln n) = \frac{1}{n^m} \to 0$。这表明在情况2中，算法A对于n顶点完全图上的m - d - UMST问题，且图的边权重服从均匀分布 $UNI(a_n; b_n)$ 时，也能给出渐近最优解。
- 总结 ：在参数d的取值范围内，对于两种情况，在特定条件下，当 $n \to \infty$ 时，相对误差 $\varepsilon_n \to 0$ 且失败概率